아르키메데스 - 파이(π) 계산법

 1 아르키메데스 - 파이(π) 계산법

고대 천재의 비밀 방법

수학 마니아 여러분! 2천 년 전, 한 그리스인이 사우나에서 나와 유레카!를 외쳤습니다. 바로 아르키메데스였습니다. 우리는 항상 파이(π)를 필요로 하지만, 이 패턴은 어떻게 생겨났을까요?

화자는 아르키메데스가 도입한 방법을 사용하여 파이 값을 발견한 이야기를 묘사합니다. 그는 또한 마치 수학에 문외한인 친구에게 이야기하듯 정교한 공식 대신 가슴을 울리는 표현과 그림을 사용하여 설명하고 있다고 말합니다.

전쟁 영웅이자 발명가인 아르키메데스의 삶

그는 기원전 287년 시칠리아에서 태어났습니다. 그는 단순한 수학자만은 아니었습니다. 적군이 로마 병사들과 함께 공격해 오자, 마치 공상과학 영화 속 영웅처럼 커다란 거울을 이용해 적의 함선에 불을 지르는 무기를 만들어냈습니다! 그의 진정한 재능은 수학과 물리학이었습니다. 원의 둘레와 너비의 비율인 파이 값은 원이 이상적인 곡선이기 때문에 정확하게 계산하기 어렵습니다. 아르키메데스는 "이것을 직선으로 바꿔보자!"라고 생각했습니다.

케이크 자르기를 이용한 아르키메데스의 방법

원형 케이크를 상상해 보세요. 케이크의 둘레를 어떻게 계산하시겠습니까? 줄자를 사용할 수도 있었지만 고대에는 없었습니다.

여섯 조각으로 자르기

아르키메데스의 첫 번째 단계는 케이크를 여섯 조각으로 자르는 것이었습니다. 정육각형을 만드는 것이었습니다. 이 육각형은 원 안에 둘러싸여 있으므로 둘레가 원의 둘레보다 약간 짧습니다.

더 작은 조각으로 나눕니다.

아르키메데스는 내접 다각형을 특정 모양의 여러 조각으로 정의했습니다. 케이크를 여러 조각으로 자르면 케이크 모양이 더 원형에 가까워집니다. 다각형을 사용하여 원을 근사할 수 있으며, 조각이 많을수록 값은 ?에 가까워집니다. 아르키메데스의 방법을 보여주기 위해 위의 시각화는 이 방법에 대한 시각적 설명을 제공합니다.

π의 기하학 아르키메데스

아르키메데스는 원 안에 유사한 도형들을 내접시켰을 뿐만 아니라, 다른 도형들을 원 밖에 있도록 외접시켰습니다. 그는 원을 샌드위치처럼 가운데에 끼우고 밑변(내접)과 꼭짓점(외접)의 둘레를 계산했습니다. 내접한 둘레는 π보다 작고, 외접한 둘레는 π보다 큽니다. 그는 이 두 값 사이의 간격을 메움으로써 π 값을 도출해냈습니다.

그는 육각형으로 시작하여 12각형, 24각형, 48각형, 96각형으로 나아갔습니다. 그는 각 단계에서 변의 길이를 계산했습니다. 마치 길을 걷는 것과 같습니다. 그는 육각형으로 큰 걸음을 내딛으며 거리를 추정하고, 96각형으로 작은 걸음을 내딛으며 거리를 더 정확하게 추정했습니다. 결국 아르키메데스는 π가 3 + 10/71(3.1408)보다 작고 3 + 1/7(3.1428)보다 크다는 결론을 내렸습니다. 이는 오늘날 우리가 사용하는 π(3.14159...)와 매우 가까운 값입니다. 오래전에는 계산기 없이 이런 계산을 했다고 상상해 보세요.

제안된 기법은 소진법(exhaustion method)이라고 합니다. 이 개념은 다각형의 변이 많을수록 마치 마라톤 선수가 결승선에 가까워지는 것처럼 원에 가까워진다는 것입니다. 아르키메데스가 사용한 접근법은 삼각함수를 사용하지 않은 순전히 기하학적인 접근법이었습니다. 우리는 컴퓨터를 사용하여 수백만 자릿수의 π를 계산할 수 있지만, 그가 도입한 개념은 여전히 ​​기본적인 수준에 머물러 있습니다.

이 오래된 발견은 인공지능과 관련하여 여전히 큰 가치를 지니고 있습니다. 머신러닝 기반 인공지능 모델은 원형 패턴을 식별할 때 π 값을 사용합니다. 이 값은 원형 그래프와 맵 매핑과 같은 대규모 데이터 분석에 적용됩니다. 최근 아르키메데스의 원리는 메타버스에서 가상 세계로 원형 엔티티를 생성하는 데 구현되었습니다. 인공지능은 π 값을 사용하여 예측의 정확도를 높이고, 이 값은 최근 유행하는 수학적 개념을 뒷받침합니다. 이 이야기는 AI 개발자에게 마치 고대의 천재가 당신의 코드에 도움을 주는 것처럼 느끼게 할 수 있습니다.

아르키메데스가 파이를 발견하는 데 활용한 수학은 수학이 단순히 숫자뿐 아니라 인간의 상상력과 호기심까지 포함한다는 것을 보여줍니다. 이 에피소드는 '수학자의 삶' 시리즈의 첫 번째 에피소드입니다. 두 번째 에피소드에서는 뉴턴의 미적분학이 어떻게 만들어졌는지 설명합니다.